MATEMATIKA

KELAS X

LOGIKA MATEMATIKA

Apakah Logika Itu?
Perhatikan ilustrasi berikut ini!
Anda adalah seorang siswa SMK yang baru saja lulus sekolah dan langsung memulai berwirausaha dengan berdagang, yang sebagian modalnya Anda pinjam dari seorang teman. Anda berjanji, “Bila saya tidak rugi, saya akan melunasi semua utang saya sesegera mungkin”. Keadaan berikut ini, yang manakah Anda dapat dikatakan ingkar janji?
i) Anda tidak rugi dan Anda melunasi utang dengan segera
ii) Anda tidak rugi dan Anda tidak melunasi utang dengan segera
iii) Anda melunasi utang padahal anda rugi
iv) Anda melunasi utang dan Anda tidak rugi
Jelas bahwa tanpa logika, kita sering melakukan kesalahan dalam penarikan kesimpulan.
Dalam kehidupan sehari-hari, sering kali kita di hadapkan pada suatu keadaan yang mengharuskan kita untuk membuat suatu keputusan. Agar keputusan kita itu baik dan benar, maka terlebih dahulu kita harus dapat menarik kesimpulan-kesimpulan dari keadaan yang kita hadapi itu, dan untuk dapat menarik kesimpulan yang tepat diperlukan kemampuan menalar yang baik.
Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik kesimpulan yang tepat dari bukti-bukti yang ada dan menurut aturan-aturan tertentu. Lalu apa kaitannya dengan logika?

Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Secara bahasa, logika berasal dari kata “logos” (bahasa Yunani), yang artinya kata, ucapan, pikiran. Kemudian pengertian itu berkembang menjadi ilmu pengetahuan. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan argumen-argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip untuk ,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-simbol matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa yang biasa kita gunakan sehari-hari.

Pengertian Pernyataan dan Bukan Pernyataan
Sebelum membahas pernyataan, terlebih dahulu kita bahas pengertian kalimat. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti.
Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya.
Perhatikan beberapa contoh berikut!
1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam
2. 4 + 3 = 8
3. Frodo mencintai 1
4. Asep adalah bilangan ganjil
Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah, dan keduanya adalah pernyataan. Sementara contoh nomor 3 dan 4 adalah kalimat yang tidak mempunyai arti.
Sekarang perhatikan contoh di bawah ini!
1. Rapikan tempat tidurmu!
2. Apakah hari ini akan hujan?
3. Indah benar lukisan ini!
4. Berapa orang yang datang?
Kalimat di atas tidak mempunyai nilai benar atau salah, sehingga bukan pernyataan.

Catatan:
Suatu pernyataan biasa kita simbolkan dengan huruf kecil p,q,r,s, dan sebagainya.

Kalimat Terbuka
Perhatikan contoh berikut ini!
1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya
2. seseorang memakai kacamata
3. 2x + 8y > 0
4. x + 2 = 8
Keempat contoh di atas belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat yang demikian itu dinamakan kalimat terbuka. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan.
Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.
Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian.
Contoh:
x + 2 = 8
x adalah variabel, 2 dan 8 adalah konstanta, dan x = 6 untuk x anggora bilangan real adalah selesaian.
Secara skematik, hubungan kalimat, pernyataan, dan kalimat terbuka dapat kita rumuskan sebagai berikut:


Pernyataan Majemuk
Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu pernyataan-oernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective logic):
: Merupakan lambang operasi untuk negasi
: Merupakan lambang operasi untuk konjungsi
: Merupakan lambang operasi untuk disjungsi
: Merupakan lambang operasi untuk implikasi
: Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi

1) Negasi (Ingkaran) Sebuah Pernyataan
Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu. “ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran menggunakan operasi uner (monar) “” atau “”.
Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya p benar.

Definisi tersebut dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

B = benar
S = salah
Perhatikan cara membuat ingkaran dari sebuah pernyataan serta menentukan nilai kebenarannya!
1. p : kayu memuai bila dipanaskan (S)
-p: kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)
2. r : 3 bilangan positif (B)
-r : (cara mengingkar seperti ini salah)
3 bilangan negatif
(seharusnya) 3 bukan bilangan positif (S)

2) Pernyataan Majemuk
Pernyatan majemuk adalah pernyataan baru yang dibentuk dengan merantgkaikan pernyataan-pernyataan tunggal dengan kata sambung logika.
Contoh:
disebut konjungsi
disebut disjungsi
disebut Implikasi
disebut biimplikasi

3) Konjungsi ()
Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.
Dengan tabel kebenaran

Contoh:
1. p : 5 bilangan prima (B)
q : 5 bilangan ganjil (B)
: 5 bilangan prima dan ganjil (B)

4) Disjungsi/ Alternasi ()
Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif)

Dengan tabel kebenaran



Contoh:
1. p : 1 akar persamaan (B)
q : -1 akar persamaan (B)
: 1 atau -1 akar persamaan (B)
2. p : Bogor di Jawa barat (B)
q : Bogor itu kota propinsi (S)
: Bogor di Jawa Barat atau ibu kota propinsi (B)

5) Implikasi/ Kondisional ()
boleh dibaca:
jika p maka q
q hanya jika p
p syarat perlu untuk q
q syarat cukup untuk p
p disebut anteseden atau hipotesis
q disebut konsekuen atau konklusi
Implikasi bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.

Dengan tabel kebenaran



Contoh:
1. Jika 2 x 2 = 4, maka 4 : 2 = 2                                         (B)
(B)                                (B)
2. Jika manusia bersayap , maka kita bisa terbang    (B)
(S)                                                 (S)



6) Biimplikasi atau Bikondisional ()
boleh dibaca:
p jika dan hanya jika q (disingkat “p jhj q”)
jika p maka q, dan jika q maka p
p syarat perlu dan cukup untuk q
q syarat perlu dan cukup untuk p
biimplikasi bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah.

Dengan tabel kebenaran



Contoh:
1. 2 x 2 = 4  jika dan hanya jika 4 : 2 = 2        (B)
(B)                                                  (B)
2. 2 x 4 = 8 jika dan hanya jika 8 : 4 = 0         (S)
(B)                                                (S)



Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi.
Implikasi :
Inversnya :
Konversnya :
Kontraposisinya :
Contoh:
Implikasi : Jika harimau bertaring, maka ia binatang buas
Inversnya : Jika harimau tidak bertaring, maka ia bukan binatang buas
Konversnya : Jika harimau binatang buas, maka ia bertaring
Kontraposisinya : Jika harimau bukan binatang buas, maka ia tidak bertaring
Dengan tabel kebenaran:

				Implikasi	Invers	Konvers	Kontraposisi
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

Dari tabel di atas terlihat bahwa implikasi mempunyai nilai kebenaran sama dengan kontraposisi, dan nvers dengan konvers i. Sehingga dapat kita katakan bahwa implikasi setara dengan kontraposisi dan invers setara dengan konvers. Bisa kita tulis:


Catatan:
“” artinya ekivalen
Contoh:
Buatlah pernyataan yang setara dengan pernyataan: “jika ia benar-benar mencuri, maka pada saat pencurian harus berada di tempat ini.”
Jawab:
Implikasi setara dengan kontraposisi. Maka pernyataan itu dapat diubah menjadi, “jika pada saat pencurian tidak berada di tempat itu, maka ia tidak mencuri.”

Penarikan Kesimpulan (Inferensi)
1) Pengertian Argumen
Perhatikan beberapa contoh argumen berikut ini!
1. Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun (premis 1)
Harga barang naik                                                                            (premis 2)
Jadi permintaan barang turun                                                     (konklusi)
2. Jika , maka  (premis 1)
(premis 2)
Jadi  (konklusi)
Dari contoh-contoh di atas, maka dapat kita rumuskan:

• Argumen adalah serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan-ungkapan pernyataan “penarikan kesimpulan”
• Argumen terdiri dari dua kelompok pernyatan, yaitu premis (pernyataan-pernyataan sebelum kesimpulan) dan sebuah konklusi (kesimpulan).

2) Modus ponens, modus tollens, dan sillogisma
Sekarang kita akan membahas 3 bentuk argumentasi yang sah, yaitu modus ponens, modus tollens, dan sillogisma.
1. Modus ponens
Modus ponens disebut juga kaidah pengasingan.
Bentuknya sebagai berikut:
(premis 1) berupa implikasi
(premis 2) berupa anteseden
——–
(konklusi)
Keabsahan (sah atau tidaknya) sebuah argumen dapat dilihat melalui tabel kebenaran.

B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Argumentasi ini sah karena untuk premis  dan p benar, konklusi q juga benar.
Contoh:
Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun
Harga barang naik
Jadi permintaan barang turun
2. Modus tollens
Modus tollens disebut juga kaidah penolakan.
Bentuknya sebagai berikut:
(premis 1) berupa implikasi
(premis 2) berupa negasi dari konsekuen
———-
(konklusi)
Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:

B	B	S	S	B
B	S	S	B	S
S	B	B	S	B
S	S	B	B	B

Argumen ini sah, karena untuk premis dan benar, konklusi juga benar.


Contoh:
Persamaan , , maka dan berlainan
dan tidak berlainan
Jadi persamaan ,
3. Silogisma
Bentuknya sebagai berikut:
(premis 1) berupa implikasi
(premis 2) berupa implikasi
———-
(konklusi)
Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:

B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S
B	S	B	S	B	B
B	S	S	S	B	S
S	B	B	B	B	B
S	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B
S	S	S	B	B	B

Argumen ini sah, karena untuk premis dan benar, konklusi
juga benar.
Contoh:
Jika , maka
Jika , maka
Jadi jika , maka

KELAS XI

STATISTIKA

A.Pengertian STATISTIK & STATISTIKA

Di saat sekarang, banyak sekali keputusan dan kebijakan baik pemerintah, lembaga swasta maupun perorangan yang memerlukan statistik dan statitika. Pertanyaan yang mungkin muncul sekarang adalah: Apa yang dimaksud dengan statistik dan statistika itu? Apa perbedaan kedua istilah itu? Kata statistika berakar dari kata Latin status yang berarti negara (bahasa Inggris: state). Pada mulanya statistika semata-mata hanya dikaitkan dengan pemaparan fakta-fakta dengan angka-angka atau gambar yang menyangkut situasi kependudukan dan perekonomian untuk mengambil keputusan politik di suatu negara. Hal tersebut sampai sekarang masih dilakukan.

Pada perkembangannya, makna statistika menjadi ilmu tentang sekumpulan konsep serta metode yang dapat digunakan untuk mengumpulkan, menyajikan dan menganalisis data serta menarik kesimpulan berdasar hasil analisis data tersebut. Sebagai suatu ilmu, bidang kegiatan statistika meliputi:

1. Statistika deskriptif, yaitu metode-metode yang berkait dengan pengumpulan dan penyajian sekumpulan data, sehingga dapat memberikan informasi yang berguna. Perlu kiranya dimengerti bahwa statistika deskriptif memberikan informasi hanya mengenai data yang dipunyai dan sama sekali tidak menarik kesimpulan yang lebih banyak dan lebih jauh dari data yang ada. Kegiatan memeriksa sifat-sifat penting dari data yang ada itu disebut analisis data secara pemerian (deskripsi). Karenanya bagian statistika demikian dinamakan Statistika Deskriptif atau Statistika Perian. Penyusunan tabel, diagram, modus, kuartil, simpangan baku termasuk dalam kategori statistika deskriptif. Kegiatan itu dilakukan melalui:

a.Pendekatan aritmetika yaitu pendekatan melalui pemeriksaan rangkuman nilai atau ukuran-ukuran penting dari data. Yang dimaksud rangkuman nilai di sini ialah penyederhanaan kumpulan nilai data yang diamati ke dalam bentuk nilai-nilai tertentu. Setiap rangkuman nilai ini disebut statistik. Jadi, statistik menerangkan sifat kumpulan data dalam bentuk nilai yang mudah dipahami, sedangkan statistika adalah suatu ilmu tentang sekumpulan konsep serta metode yang dapat digunakan untuk mengumpulkan, menyajikan dan menganalisis data serta menarik kesimpulan berdasar hasil analisis data tersebut.

b. Pendekatan geometrik, yaitu melalui penyajian data dalam bentuk gambar berupa grafik atau diagram.
Kedua pendekatan mengakibatkan pembedaan dalam penyajian datanya. Penyajian data pertama menekankan angka-angka dan yang kedua menekankan pada gambar.

2. Statistika inferensi, yang berupa kajian tentang penarikan kesimpulan mengenai keseluruhan objek yang menjadi perhatian namun hanya atas dasar data sebagian objek inilah yang disebut Statistika Inferensial atau Statistika Induktif. Dengan demikian, Statistika Inferensial menyimpulkan makna statistik yang telah dihitung, dianalisis atau disajikan grafik atau diagramnya tersebut.

B. Pengertian Data dan Macamnya

Untuk membuat keputusan ataupun kebijakan yang tepat, diperlukan dan dibutuhkan suatu gambaran umum tentang karakteristik dari hal-hal yang berkait dengan persoalan itu. Untuk itu perlu dilakukan pengamatan, pencacahan maupun pengukuran. Himpunan hasil pengamatan, pencacahan ataupun pengukuran sejumlah objek disebut data. Ada juga yang menyatakan bahwa data adalah segala keterangan, informasi atau fakta tentang sesuatu hal atau persoalan. Sedangkan datum adalah keterangan yang diperoleh dari satu pengamatan. Jadi data adalah bentuk jamak dari datum. Untuk selanjutnya akan digunakan istilah data saja karena dengan hanya satu pengamatan saja, sangatlah sulit untuk mengambil kesimpulan. Sebagai contoh, data yang terkait dengan Bapak Rudi antara lain, warna rambutnya hitam, isterinya 1 orang, banyaknya anak 5 orang, tinggi badannya 167 cm, dan berat badannya 71,4 kg.
Dari contoh di atas, terlihat bahwa ada data yang berbentuk angka dan ada juga yang berbentuk kategori (atribut). Contoh data berbentuk angka adalah data yang berkait dengan tinggi badan maupun banyak anak. Data berbentuk angka tersebut biasa disebut dengan data numerik atau data kuantitatif. Sedangkan data warna rambut yang dapat berkategori hitam, putih, coklat maupun pirang disebut data kategorik atau data kualitatif. Secara teknis, dalam statistika hampir semua data diusahakan berbentuk kuantitatif (berupa angka). Sebagai misal, dalam suatu formulir kadang-kadang jenis kelamin dinyatakan dengan kode 1 untuk laki-laki dan kode 2 untuk perempuan. Angka 1 dan 2 pada contoh di atas hanya digunakan untuk membedakan objek laki-laki atau perempuan.

Perhatikan data numerik atau data kuantitatif tentang banyaknya anak dan berat badan di atas. Banyaknya anak bisa 0, 1, 2, 3 … yang didapat dari hasil membilang atau mencacah. Data seperti ini disebut dengan data cacahan. Sedangkan data tinggi badan bisa 71,4 kg namun bisa juga 71,425 kg jika menggunakan alat ukur yang lebih teliti. Data seperti itu disebut data ukuran. Pada intinya, data numerik atau data kuantitatif yang berbentuk angka terdiri atas dua macam, yaitu:
1. Data cacahan atau data diskrit yang diperoleh dari membilang atau mencacah dan datanya berupa bilangan cacah.
2. Data ukuran atau data kontinu yang diperoleh dari hasil mengukur dan datanya berupa bilangan real.

C. Populasi dan Sampel

Perhatikan ilustrasi berikut. Pak Radi akan membeli sekarung duku. Ia lalu mengambil segenggam duku dari karung tersebut, mengamati kulit duku-duku yang diambilnya, menguliti satu-dua duku lalu mencicipinya. Setelah itu, ia lalu memutuskan untuk tidak membeli sekarung duku tersebut. Pertanyaan dapat dimunculkan adalah: Mengapa Pak Radi lalu memutuskan untuk tidak jadi membeli duku tersebut setelah ia mengamati kulit beberapa duku dan mencoba mencicipi satu-dua duku? Apa yang terjadi jika ia mencoba mencicipi seluruh duku tersebut? Bagaimana jika karena kelihaian penjualnya, duku yang dipilih tadi kebetulan merupakan beberapa duku yang manis, padahal kenyataannya, sebagian besar duku tersebut berasa asam?
Memang benar bahwa Pak Radi hanya mengambil segenggam duku dari sekarung duku yang akan dibelinya. Namun segenggam duku tadi telah dianggap benar-benar mewakili sekarung duku yang akan dibeli. Hasil pengamatan terhadap kulit duku maupun fakta tentang rasa satu-dua duku telah cukup bagi Pak Radi untuk tidak membeli sekarung duku tadi.

Sekarung duku yang mau dibeli Pak Radi merupakan populasi sedangkan segenggam duku merupakan sampel atau contoh. Pada suatu penelitian, peneliti harus menentukan himpunan objek yang menjadi perhatian atau sasaran penelitiannya. Himpunan objek yang menjadi perhatian atau sasaran penelitian itu disebut populasi. Namun, pada umumnya, jika ukuran populasinya ‘relatif’ besar atau kondisinya tidak memungkinkan, orang lalu mengamati atau meneliti sebagian populasi yang disebut sampel. Kesimpulannya, populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan studi, penelitian atau pembicaraan. Sampel adalah himpunan bagian populasi.

KELAS XII

VEKTOR

Vektor dalam matematika merupakan besaran dengan arah tertentu. Vektor dapat dideskripsikan dengan sejumlah komponen tertentu, tergantung dari sistem yang digunakan. Contoh dari vektor yang terkenal adalah gaya gravitasi. Gaya gravitasi tidak hanya memiliki besar, namun juga arah yang menuju pusat gravitasi.
Panjang Vektor
Untuk mencari panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian tiga dimensi, dapat digunakan cara berikut:

Kesamaan Dua Vektor
Dua buah vektor dinamakan sama apabila dua-duanya memiliki panjang dan arah yang sama
Kesejajaran Dua Vektor
Dua Buah Vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan kedua buah vektor sejajar.
Operasi Vektor
Perkalian Skalar
Sebuah vektor dapat dikalikan dengan skalar yang akan menghasilkan vektor juga, vektor hasil adalah:

Penambahan Vektor dan Pengurangan Vektor
Sebagai contoh vektor a=a₁i + a₂j + a₃k dan b=b₁i + b₂j + b₃k.
Hasil dari a ditambah b adalah:

pengurangan vektor juga berlaku dengan cara yang kurang lebih sama
Vektor Satuan (Unit Vector)
Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1 satuan panjang. Vektor satuan dari sebuah vektor dapat dicari dengan cara: